Нелинейные Уравнения

Telegram

Теперь мы есть в телеграмм!  t-do.ru/interestinglife_ru

Все новости и приложения будут также там. Подписывайтесь! Все сенсации будут оперативно публиковаться там, чтобы канал заработал на вашем устройстве необходимо подписаться. 


 

Пусть требуется решить уравнение f(x) = 0, f(x) - непрерывная функция в конечном или бесконечном интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение называют алгебраическим, в противном случае - трансцендентным. Всякое значение x = x*, обращающее f(x) в ноль, называется корнем этого уравнения. Решение задачи отыскания изолированных корней уравнения (корень изолированный, если существует окрестность, в которой этот корень единственный) состоит из двух этапов:

  • отделение корней
  • уточнение корней

При отыскании действительных корней этап отделения производится либо графически, либо аналитически, основываясь на известной теореме:

Теорема 1.

Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b], т.е. f(a)*f(b) < 0, то внутри этого отрезка существует по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, т.е. такое значение x*, что f(x*) = 0. Корень x* будет единственным на отрезке [a;b], если производная f'(x) существует и сохраняет знак внутри интервала (a;b). Практически отделение корней начинается с определения граничных точек x=a и x=b области сущестования функции f(x). Затем вычисляют значения f(x) на [a;b] через промежутки произвольной длины h, учитывающие особенности функции f(x), до смены знака при переходе от значения f(x) к f(x+h)

Пример 1.

Отделить корни уравнения f(x) ≡ ln(x)+x2 - 0.5 = 0 аналитическим методом.

Решение

С учетом области определения (x>0) составим схему знаков функции.

x 0.1 0.5 1
sign f(x) (-) (-) (+)

f'(x) = (1+2x2)/x >0 при x>0, т.е. единственный корень принадлежит отрезку [0.5;1]. Этап уточнения корней заключается в вычислении значения xn, обеспечивающего выполнение условия | xn - x*| ≤ E с некоторой погрешностью, не превышающей заданной точности.

Теорема 2.

Пусть x* - точный, а xn - приближенный корни уравнения принадлежащие отрезку [a;b], причем |f'(x)| ≥ m1 > 0. Справедлива оценка | xn - x*| ≤ |f'(xn)|/m1

Метод половинного деления.

Пусть требуется уточнить единственный корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a;b](отрезок неопределенности). Точка с= (a+b)/2 – середина отрезка [a;b]. Если f(c)=0, то корень найден. В противном случае для дальнейшего рассмотрения оставляем ту половину отрезка неопределенности [a;c] или [c;b], на концах которой знаки функции f(x) различны. При этом получающаяся последовательность вложенных отрезков содержит искомый корень. На каждом шаге длина отрезка неопределённости уменьшается вдвое. Метод сходится всегда. Условием окончания поиска корня может быть, например, |f(x)|Пример 2. Методом половинного деления сделать шесть итерций уточнения корня уравнения f(x)≡x^4+2x^3-x-1=0, принадлежащего отрезку [0;1]. Решение half-division method После шести итераций корень локализован на отрезке [0.843; 0.875], |f(c)|=0.045, (b-a)/2^n =(1-0)/64=0.016

Метод Ньютона-Рафсона.

Метод Ньютона-Рафсона – метод уточнения на отрезке [a;b] корня уравнения. В уравнении касательной к графику y=f(x) в точке A0(x0,f(x0)) полагаем x=x1, y=0. Находим x1 – абсциссу точки пересечения касательной осью ox и т.д. Рекуррентная формула метода Ньютона-Рафсона Рекуррентная формула метода Ньютона-Рафсона Метод Ньютона-Рафсона имеет большую скорость сходимости.

Теорема.

Если f(a)*f(b)<0, причем f’(x) и f’’(x) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при a≤x≤b, то, исходя из начального приближения x0, удовлетворяющего условию f(x_0 )*f^'' (x)>0, можно вычислить методом Ньютона-Рафсона единственный корень уравнения x с любой степенью точности.

Замечания

Теорема содержит достаточные условия сходимости. Если: 1) функция f(x) определена и непрерывна при -∞0 может быть взята любая точка [a;b]. Если кривая y=f(x) вблизи корня имеет производную, близкую к нулю, метод Ньютона применять не рекомендуется. Оценка погрешности метода такова: Оценка погрешности метода Где M2 – наибольшее значение |f'' (x)|, m1 – наименьшее значение |f' (x)| на отрезке [a;b]. метод Ньютона-Рафсона где E – требуемая точность, то полагают, что x*=xn с точностью E.

Метод хорд.

Метод хорд предназначен для отыскания на отрезке [a;b] единственного корня уравнения f(x)=0. Для получения рекуррентной формулы метода хорд следует написать уравнении прямой, проходящей через точки A(a,f(a) )и B(b,f(b)), положить x=x1, y=0. AB – хорда, стягивающая концы дуги кривой y=f(x) на отрезке, содержащем корень уравнения f(x) = 0. Абсцисса точки пересечения AB с осью OX – очередное приближение к корню. Затем проводят хорду через точку (x1,f(x1 )) и неподвижную точку, получают очередное приближение к корню и т.д. Неподвижен тот конец отрезка [a;b], для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ей второй производной. Условием её сходимости метода хорд – знакопостоянство f'' (x) на отрезке [a;b]. Рекуррентные формулы имеют вид: - точка a-неподвижная, тогда a неподвижна -точка b-неподвижная, b неподвижна Оценку погрешности можно проводить по любой из формул Оценка погрешности метода хорд m1 и M1 – наименьшее и наибольшее значения |f' (x)| на отрезке.

Пример

Вычислить методом хорд на отрезке [0;1] с точностью E=10-3 корень уравнения f(x)≡1-3x+cosx=0 и оценить погрешность. Решение Для функции f(x)=1-3x+cosx,f(0)>0,f(1)<0, вычислим производные : f'(x)=-3-sinx; f''(x)=-cosx. На отрезке [0;1] f''(x)<0. Неподвижной точкой является x=b=1, так как f'' (x)*f(1)>0. Таким образом, полагая x0=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню по формуле формула хорд Результаты решения уравнения методом хорд. метод хорд таблица Оценим погрешность, для чего вычислим оценка погрешности m1 – наименьшее значение |f'(x)| на отрезке. итог

Читайте далее: "Теория погрешностей"