Теория погрешностей

Telegram

Теперь мы есть в телеграмм!  t-do.ru/interestinglife_ru

Все новости и приложения будут также там. Подписывайтесь! Все сенсации будут оперативно публиковаться там, чтобы канал заработал на вашем устройстве необходимо подписаться. 


 

Зачастую, наряду с точными числами часто используют приближенные числа. В большом количестве случаев точное число указать невозможно. В некоторых случаях замена точного числа на приближенное происходит сознательно для упрощения вычислений.

Точные и приближенные числа. Погрешность

Приближенным числом называют такое число, которое незначительно отличается от точного числа и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного числа от его точного значения характеризуется погрешностью. Погрешности могут образовываться в результате замены точных чисел приближенными, расчетов с приближенными начальными данными и по другим причинам. Различают следующие основные источники погрешностей:

  • Погрешности начальных данных, связанные с приближенным выражением величин, входящих в условие поставленной задачи. Такими величинами являются многие физические и математические константы, а также величины, полученные в результате с ограниченной точностью. Заметим, что из практических соображений желательно, чтобы все исходные данные имели одинаковую точность или начальную погрешность.
  • Погрешности, возникающие в результате приближенного описания реального явления. Тогда задачу описывают с помощью математической модели так, чтобы применить известный и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому. При изменении первоначальной математической формулировки задачи приводит к появлению погрешности результата.
  • Погрешности ограничения появляются при замене бесконечных процессов конечными. Таким образом, используя разложение функции в ряд для вычисления ее значения, ограничиваются конечным числом членов ряда.
  • Погрешности округления связаны с тем, что часто приходится округлять значения исходных данных, промежуточных и конечных результатов. Это происходит из-за того, что в практических вычислениях, а также при хранении чисел на вычислительных машинах используется конечное число разрядов.
  • Погрешности действий обусловлены выполнением вычислений над приближенными числами. В процессе вычислений погрешности исходных данных и промежуточных данных трансформируются в погрешность результата.

Учет погрешностей является важным аспектом применения численных методов. Одной из основных задач теории погрешностей является оценка точности результата на основании точности исходных данных. Не менее важная задача - это определение точности исходных значений исходя из требований точности конечного результата. Существенным свойством вычислительного процесса выступает его устойчивость: малые погрешности исходных данных должны приводить к малым погрешностям результатов. Отсутствие устойчивости может привести к тому, что незначительные погрешности в исходных данных вызовут большую погрешность результата и даже приведут к неверному решению. Погрешность является мерой точности приближенных чисел.

Пример

Длина и ширина прямоугольника, измеренные с точностью до 1 см, равны a=5.43м и b=3.82м. Оценить погрешность в определении площади и S=20.7426м2

Решение

Δa=0.01м, Δb=0.01м. Возможные значения площади равны: (a+0.01)(b+0.01)=20.8352, (a-0.01)(b-0.01)=20.6502. Сравнивая с S = 20.7426, получаем предельную абсолютную погрешность Δs≤0.0926. Абсолютная погрешность всегда округляется в большую сторону, Δs = 0.10. Приближенное значение площади S = 20.7 м Относительная погрешность δs = (0.0926)/(20.7426) = 0.0045 = 45%.

Округление чисел

При решении задач часто требуется вычислить результат с определенной точностью. При этом следует иметь в виду, что точность зависит от количества значащих цифр и количества верных значащих цифр результата. Значащими цифрами приближенного десятичного числа a называют все цифры, отличные от нуля, и нули, если они содержатся между значащими цифрами или расположены в конце числа и указывают на сохранение разряда. Например, в числе 12.05 четыре значащих цифры. В числе 0.00201 три значащих цифры (2, 0 и 1). В числе 84500 может быть: три значащих цифры, если оно задано с точностью до сотен; четыре значащих, если - с точностью до десятков; пять значащих цифр, если – с точностью до единиц. Чтобы избежать такой неопределённости, принято записывать целые числа в форме произведения, оставляя только значащие нули. Так, в приведенном выше примере число с различным количеством значащих цифр может быть записано в следующем виде: 845*102, 845*101, 84500.. Приближённое десятичное число, представленное в виде теория погрешностей 1 Содержит n верных значащих цифр в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой, считая слева, т.е. если α ≤ 0,5 * 10m-n+1 Если это неравенство не выполняется, то цифру αn считают сомнительной.

Пример 2

Точное число A = 104,273 заменено приближенным числом α=104,3. При этом приближенное число α содержит четыре верных значащих цифры в указанном смысле, так как α= |A-a|=0,027<0,5*10-1 И, следовательно, цифра 3 верная. Если точное число A заменено на α = 104,2, то α= |A-a|=0,073<0,5*10-1, следовательно, цифра 2 – сомнительная.

Пример 3

Пусть приближенное значение α = 927.478, а его предельная абсолютная погрешность ∆α=0.06. В этом случае первые четыре цифры (9, 2, 7 и 4) являются верными в широком смысле. В ходе вычислений часто приходится округлять как приближенные так и точные числа. При округлении приближенного числа α1 получают новое приближенное число α2, абсолютная погрешность которого складывается из абсолютной погрешности числа α1 и погрешности округления погрешность округления