Аппроксимация функций

В задачах теории колебаний, электродинамики, твердотельной электроники и других разделах прикладной математики широко применяется аппроксимация функций при описании физических параметров сред, для задания характеристик активных и пассивных элементов путем радиотехнических цепей и т.д. В задачах вычислительной математики аппроксимация функций является основой для разработки многих методов и алгоритмов. Задача аппроксимации (приближения) функций заключается в замене некоторой функции y=f(x) другой функцией g(x, a0, a1, …, an) таким образом, чтобы отклонение g(x, a0, a1, …, an) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве X) определенному условию. Если множество X дискретно (состоит из отдельных точек), то приближение называется точечным, если же X есть отрезок a≤x≤b, то приближение называется интегральным. При этом функция g(x, a0, a1, …, an) обычно выбирается с учетом специфических особенностей рассматриваемой функции f(x). Частным случаем аппроксимации является интерполяция.

Постановка задачи интерполяции

Известны значения функции f(x) в точках x0,x1,…,xn, называемых узлами интерполяции. Требуется построить некоторую функцию g(x, a0, a1, …, an) такую, что g(x, a0, a1, …, an)= f(x), i=(0,n) Данное условие – условие интерполяции – означает, что интерполирующая g(x, a0, a1, …, an) и интерполируемая f(x) функции совпадают в узлах интерполяции x0,x1,…,xn. Геометрическая интерпретация задачи интерполяции – нахождение функции g(x, a0, a1, …, an), график которой проходит через точки (xi,f(xi )), i=(0,n). В зависимости от класса, к которому принадлежит функция g, интерполяция называется параболической, тригонометрической и т.д. Выделение классе параболического интерполирования вызвано наличием многочисленных приложений, а также тем фактом, что аппарат интерполирования многочленами является столь же важным в теории численного анализа, как формула Тейлора в классическом анализе. В случае параболической интерполяции функция g(x, a0, a1, …, an) суть многочлен (полином) степени не выше n g(x, a0, a1, …, an) = a0+a1x+a2xn+⋯+anxn Условие интерполяции будет иметь вид: условие интерполяцииИз решения системы можно определить коэффициенты a0, a1, …, an. Задача имеет единственное решение, если все узлы интерполяции различны, т. к. в этом случае определитель системы отличен от нуля. определитель системы